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By Walter Gubler

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2. 4. Nun wollen wir diese Produktnotation auf beliebige Teilmengen von G ausdehnen. Seien hierzu also Y, Z ⊆ G gegeben. Wir setzen Y · Z := {y · z | y ∈ Y und z ∈ Z} Dies definiert eine Verkn¨ upfung auf der Potenzmenge Pot(G) von G. Die Frage ist, ob sie damit auch zu einer Gruppe wird. Die Assoziativit¨at vererbt sich trivialerweise von G und ist damit erf¨ ullt. Auch ein neutrales Element ist mit {e} gegeben, da {e}Y = {ye | y ∈ Y } = Y = Y {e} ¨ Die Uberlegung scheitert allerdings leider an dem inversen Element.

Gr . 5. Jede endliche abelsche Guppe ist isomorph zum direkten Produkt zyklischer Untergruppen. 6. 10. 7. Man kann auch die endlichen abelschen Gruppen bis auf Isomorphie klassifizieren, wenn man m1 |m2 | . . 38). F¨ ur nicht-abelsche Gruppen ist die Klassifikation bis auf Isomorphie eine unl¨ osbare Aufgabe. Mit viel Hirn- und Computerarbeit wurde die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen erreicht. Eine einfache Gruppe heißt einfach, wenn sie nur sich selber ¨ und {e} als Normalteiler hat.

Folglich bildet Pot(G) zusammen mit ”·” als Verkn¨ upfung nur ein Monoid. 5. Die Aquivalenzklassen einer Aquivalenzrelation auf einer Menge M zerlegen M in disjunkte Teile. Bei unserer Betrachtung erhalten wir damit eine Zerlegung von G in Linksnebenklassen. Genauer bedeutet dies, dass wir ein Repr¨ asentantensystem R von ∼ bestimmen k¨onnen. Das heißt, dass aus jeder Linksnebenklasse genau ein Element gew¨ahlt wird um damit R zu bilden. 6. Wir betrachten nun die Linkstranslation Tg : G → G, x → gx mit einem festen Element g ∈ G.

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Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Walter Gubler


by Jeff
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