Applied Mathematicsematics

Patrice Tauvel's Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices PDF

By Patrice Tauvel

ISBN-10: 2100500740

ISBN-13: 9782100500741

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F (t) Comme h(0) = 1, il vient f (t) = eg(t) pour tout t ∈ [0, 1]. En particulier, eg(1) = ζ . Appliquant ceci à ζ = i, on voit qu’il existe ξ ∈ C ∗ tel que eξ = i. Alors e2ξ = −1. Si θ ∈ R− , il vient alors : eζ = θ ⇔ eζ+2ξ = −θ. Ce qui précède montre que, l’équation e z = ζ possède au moins une solution pour tout ζ ∈ C∗ . Avec les notations précédentes, on a e 4ξ = 1 = e0 . L’exponentielle n’est donc pas injective. 5. Rappelons qu’un sous-groupe de (R, +) est ou dense, ou de la forme θZ, avec θ ∈ R.

Xn+1 (ii) La série de terme général u n = f (t) dt est convergente. xn xn+1 (iii) |f (t)| dt tend vers 0 si n tend vers +∞. xn Alors l’intégrale de f sur [a, +∞[ converge. Démonstration. On peut supposer (x n )n strictement croissante. Si y x 0 , il existe un unique entier p(y) tel que x p(y) y < xp(y)+1 . Il est clair que p(y) tend vers +∞ si y tend vers +∞. On a : y x0 f (t) dt = a y p(y)−1 f (t) dt + a uk + f (t) dt. xp(y) k=0 D’autre part : y y xp(y) xp(y)+1 |f (t)| dt f (t) dt xp(y) |f (t)| dt.

4. Prenons un = (−1)n+1 n−1 , n 1. 2). 1, cette série converge et a même somme que la série 1 1 1 1 1 1 − + − + ··· + − + ··· 2 4 6 8 2(2n + 1) 2(2n + 2) c’est-à-dire (ln 2)/2. Ainsi, les deux séries sont convergentes, mais n’ont pas la même somme. un est dite commutativement convergente si la série uσ(n) est convergente pour toute permutation σ de N. 5. 6. Si un est une série absolument convergente, elle est commutativement convergente et, pour toute permutation σ de N, on a : ∞ ∞ uσ(n) = n=0 un .

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Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corriges by Patrice Tauvel


by David
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